Vis kilden til Stefan-Boltzmanns lov

'''Stefan-Boltzmanns lov''' i [[fysikk]]en angir hvor mye energi per flateenhet og tidsenhet som blir sendt ut fra overflaten til et [[svart legeme]] i form av [[varmestråling]] som en funksjon av legemets [[temperatur]]. Den er oppkalt etter de østerrikske fysikerne [[Josef Stefan]] og [[Ludwig Boltzmann]] som fant den i siste halvdel av [[1800]]-tallet. 

Utsendt strålingsenergi per flateenhet og tidsenhet er en energifluks og kalles ofte i denne sammenheng for [[utstrålingstetthet]] eller [[emittans]]. Den  har dimensjon W/m<sup>2</sup> i [[SI-systemet]].  Loven sier at energifluksen ''&Phi;'' er [[proporsjonalitet|proporsjonal]] med fjerde potens av den  [[absolutt temperatur|absolutte temperaturen]] ''T'' til legemet. Matematisk skrives loven som 

: <math> \Phi = \sigma T^4\,</math>

hvor  ''&sigma;'' er [[Stefan-Boltzmanns konstant]].  Denne ble rundt [[1900]] beregnet av [[Max Planck]] fra hans [[Plancks strålingslov|teori for varmestrålingen]] og er 

:<math> \sigma=\frac{2\pi^5 {k_B}^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8}\, \mathrm{W m^{-2}K^{-4}}, </math>

der ''k<sub>B</sub>'' er [[Boltzmanns konstant]], ''h'' er [[Plancks konstant]], og ''c'' er [[lysets hastighet]]. Ved en temperatur på ''T'' = 100 K er energifluksen 5,67 W/m<sup>2</sup>, ved 1000 K blir den derfor 56 700 W/m<sup>2</sup>, osv.

Intensiteten til strålingen gir energifluksen per [[steradian]] og er gitt som ''B(T) = &Phi;(T)/&pi; = (&sigma;/&pi;)T<sup>4</sup>'' og følger fra [[Lamberts cosinuslov]]. Stefan-Boltzmanns lov kan på samme måte som [[Wiens forskyvningslov]] utledes fra [[Plancks strålingslov]]. 

Et legeme som ikke absorberer all stråling, er kjent som et ''grått legeme''. Det slipper ut mindre total energi enn et svart legeme. Ved en temperatur ''T'' vil det gi en energifluks

: <math> \Phi = \varepsilon(T)\sigma T^{4}  </math>

hvor  funksjonen ''&epsilon;(T) < 1'' er legemets ''emissivitet'' og er forskjellig fra legeme til legeme. Et grått legeme vil derfor gi opphav til en utstråling av varme som strengt tatt ikke varierer med fjerde potens av temperaturen.

== Historie ==
Den østerrikske fysikeren [[Josef Stefan]] utledet loven i 1879 på grunnlag av eksperimentelle målinger gjort av den britiske fysikeren [[John Tyndall]]. Han hadde varmet opp tråder av [[platina]] og kunne måle varmeutsrålingen fra disse. Ved 525&thinsp;&deg;C er disse rødglødende. Oppvarmes de så til 1200&thinsp;&deg;C, blir de helt hvitglødende. Tyndall hadde funnet at varmestrålingen fra dem dermed økte med en faktor 11,7. Stefan observerte at hvis han regnet ut forholdet mellom de tilsvarende [[absolutt temperatur|absolutte temperaturene]] 1200 + 273 og 525 + 273 og opphøyde resultatet i fjerde potens, ga det 11,6. Det fikk han til å tro at utstrålingen varierte med fjerde potens av den absolutte temperaturen. Etterhvert kunne han verifisere at denne lovmessigheten stemte med alle andre, kjente målinger.

Dette resultatet ble i [[1884]] begrunnet ved teoretiske betraktninger basert på bruk av [[termodynamikk]] av den østerrikske fysikeren [[Ludwig Boltzmann]] som hadde tidligere studert under Stefan.

===Boltzmanns utledning===

Stråling i termisk likevekt i et volum ''V'' ved temperatur ''T'' har en energitetthet ''u(T) = U/V''. Som i [[kinetisk teori]] for en gass med partikler, kan man da lett vise strålingen utøver et trykk ''P = u/3''. Dette er en fundamental egenskap ved [[varmestråling]] som skyldes at den består av [[elektromagnetiske bølger]] som forplanter seg med [[lyshastigheten]].

[[Image:SB-derivation.jpg|thumb|right|250px|Syklisk prosess hvor strålingen med temperatur ''T'' og volum ''V<sub>1</sub>&thinsp;'' ekspanderer [[isotermt]] til ''V<sub>2</sub>&thinsp;'' og blir så trykket sammen igjen ved en litt lavere temperatur til det opprinnelige volumet.]]
Boltzmann betraktet en [[Carnotprosess|Carnot-maskin]] som inneholder slik varmestråling som arbeidssubstans. Som alle slike maskiner, gjennomgår den fire delprosesser: 

# I utgangspunktet har strålingen temperatur ''T'' og volum ''V<sub>1</sub>''. Den gjennomgår så en ekspansjon ved konstant temperatur ([[isoterm prosess|isoterm]]) til et større volum ''V<sub>2</sub>''. Den utfører dermed arbeidet ''W = P(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)'' hvor ''P = u/3''. Samtidig økes den indre energien til strålingen med ''U = u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)''. I denne delprosessen absorberes det derfor en varmemengde ''{{nowrap|Q {{=}} W + U}} = (4/3)u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)'' fra et eksternt reservoar.
# Kontakten med reservoaret isoleres og strålingen gjennomgår en liten, [[adiabatisk]] ekspansjon. Temperaturen avtar da til {{nowrap|''T - dT''}}.
# Ved denne nye temperaturen trykkes strålingen sammen isotermt til et mindre volum.
# I siste delprosess trykkes gassen igjen litt mer sammen, men adiabatisk slik at temperaturen øker til den opprinnelige verdien ''T'' ved samme volum som i utgangspunktet.

Nettoarbeidet som maskinen har utført i denne arbeidssyklusen, er gitt ved det skraverte arealet i ''PV''-diagrammet. Det er lik {{nowrap|''&delta;W {{=}} dP(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)''}} hvor nå ''dP = du/3''. Bidragene fra de to adiabatiske delprosessene kan neglisjeres når ''dT'' går mot null. Siden dette nå er en [[Carnotprosess|Carnot-prosess]], er virkningsgraden gitt ved temperaturforskjellen mellom de to reservoarene, det vil si

: <math> {\delta W\over Q} = {du/3\over 4u/3} = {dT\over T} </math>

Herav følger at ''du/u = 4dT/T'' som kan lett integreres opp til å gi ''u(T) = aT<sup>4</sup>'' hvor ''a'' er en ukjent integrasjonskonstant. Dette var resultatet til Bolzmann for energitettheten til varmestrålingen. Verdien til konstanten ''a'' kom først femten år senere med [[Plancks strålingslov|Plancks teori]] og gir også verdien for [[Stefan-Boltzmanns konstant]] ''&sigma;''.

===Solens temperatur===

Stefan brukte denne loven til å bestemme temperaturen ''T<sub>S</sub>'' på [[Solen]]s overflate. Man antar da at den stråler som et [[svart legeme]]. Det kan gjøres ut fra kjennskap til [[solkonstanten]] ''&Phi;<sub>0</sub>'' = 1368&thinsp;W/m<sup>2</sup>. Den angir hvor mye varmestråling som blir mottatt i den øvre atmosfæren til [[Jorden]]. Avstanden til Solen er ''D'' = 150&times;10<sup>9</sup>&thinsp;m og dens radius er ''R<sub>S</sub>'' = 7&times;10<sup>8</sup>&thinsp;m. Da den utstrålte fluksen avtar med kvadratet av avstanden fra Solen, vil fluksen på dens overflate være

: <math> \Phi_S = \Phi_0\left({D\over R_S}\right)^2  = 1368\left({150\times 10^9\over 7\times 10^8 }\right)^2 \mathrm{W\over m^2}  = 6,28\times 10^7\,\mathrm{W m^{-2}} </math>

Dette skal nå settes lik ''&sigma;T<sub>S</sub><sup>4</sup>''. Bruker man verdien over for [[Stefan-Boltzmanns konstant]], gir det den søkte temperaturen {{nowrap|''T<sub>S</sub>'' {{=}} 5770&thinsp;K}}. Stefan benyttet litt andre verdier og fikk derfor et resultatet som var litt mindre. Men dette var første gang man hadde en troverdig verdi for temperaturen.

Den totale mengde utstrålt energi fra Solen er ''4&pi;R<sub>S</sub><sup>2</sup>&Phi;<sub>S</sub>'' = 3,85&times;10<sup>26</sup>&thinsp;W.  Dette er dens [[luminositet]] og er en viktig  størrelse i [[astrofysikk]]en.

==Kvantemekanisk beregning==

Fra [[Plancks strålingslov|Plancks strålingsteori]] følger at den spektrale energitettheten for varmestrålingen er

:<math>u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  </math>.

Den fulle energitettheten ''u(T)'' finnes ved å integrere over alle frekvenser ''&nu;'' fra null til uendelig. Ved å skifte integrasjonsvariabel til {{nowrap|''x {{=}} h&nu;/k<sub>B</sub>T''}}, er den da gitt som 

:<math>u(T) = \frac{8\pi h }{c^3} \left(k_BT/h\right)^4 \int_{0}^{\infty}\!dx \frac{x^3}{e^x - 1} </math>.

Integralet her har verdien ''&pi;<sup>&thinsp;4</sup>/15'' slik at resultatet kan skrives som ''u = aT<sup>4</sup>'' hvor konstanten ''a'' har verdien

: <math>a = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15c^3h^3} = 7,566 \times 10^{-16} \mathrm{J m^{-3} K^{-4}} </math>

Fra den generelle beskrivelsen av [[varmestråling]] følger at den har en fluks eller [[emittans]] {{nowrap|''&Phi; {{=}} (c/4)u''}}. Skrives dette som {{nowrap|''&Phi; {{=}} &sigma;T<sup>4</sup>''}}, ser man at [[Stefan-Boltzmanns konstant]] {{nowrap|''&sigma; {{=}} ca/4''}} som stemmer med hva som er oppgitt tidligere.

==Hawking-stråling==

Ifølge [[generell relativitetsteori]] kan ikke noe slippe ut fra overflaten (horisonten) til et sort hull. De enkleste er sfæriske med [[Schwarzschild-radius|radius]] {{nowrap|''R {{=}} 2GM/c<sup>2</sup>''}}. Her er ''M''  massen til hullet og ''G'' [[gravitasjonskonstanten]].  Det klassiske, sorte hullet kan kun sluke opp all mulig materie og stråling som kommer utenfra. På det viset er det et perfekt, [[svart legeme|sort legeme]]. 

Men i [[1974]] viste [[Stephen Hawking]] ved bruk av [[kvantefeltteori]] at det vil også stråle ut som et sort legeme. Det har en bestemt temperatur gitt som 

:<math>T=\frac {\hbar c^3}{8\pi Gk_BM} \ ,</math>

hvor {{nowrap|''ħ {{=}} h/2π&thinsp;''}} er den reduserte [[Plancks konstant]]. Den utstrålte fluksen vil igjen være gitt ved Stefan-Boltzmanns lov, men med en konstant ''&sigma;'' som vil inkludere tilsvarende bidrag for utstråling av [[nøytrino]]er og andre [[elementærpartikler]]. 

Den utstrålte energien vil redusere energien {{nowrap|''E {{=}} Mc<sup>2</sup>''}} til det sorte hullet. Det betyr at det mister masse. Hvordan denne "fordampningen" varierer med tiden, er gitt ved 

: <math> c^2{dM\over dt} = - 4\pi R^2 \sigma T^4 </math>
 
Ved å sette inn her for ''R'' og ''T'' som funksjoner av massen ''M'', kan man lett løse denne [[differensialligning]]en. Man finner da at svært små, sorte hull forsvinner veldig raskt ved denne [[Hawking-stråling]]en. Derimot vil sorte hull med masser mye større enn [[Solen]]s masse ha en tilsvarende liten utstråling. Den er derfor meget vanskelig eller umulig å påvise og vil ha liten effekt på det sorte hullet.

== Kilder ==
* P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes, R og C.T. Tellefsen,  ''Fysikk 1'', Aschehoug, Oslo (2007).
* D. Halliday and R. Resnick, ''Physics for Students of Sciences and Engineering'', John Wiley & Sons, Ltd., New York (1965).
* J. Stefan, ''Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, '''79''', 391-428 (1879).
* L. Boltzmann, ''Ableitung des Stefanschen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie'', Annalen der Physik und Chemie, '''22''', 291-294 (1884).
* S.W. Hawking, ''Black hole explosions?'',  Nature '''248''' (5443), 30 - 31 (1974).

[[Kategori:Termodynamikk]]
[[Kategori:Astrofysikk]]
[[Kategori:Artikler i astronomiprosjektet]]
[[Kategori:Atomfysikk]]
[[Kategori:Fysiske lover]]